3.笛卡尔积
　　
　　设关系R和S的元数分别为r和s.定义R和S的笛卡尔积是一个（r+s）元的元组集合，每个元组的前r个分量（属性值）来自R的一个元组，后s个分量来自S的一个元组，记为R×S.
　　
　　若R有M个元组，S有n个元组，则R×S有m×n个元组。
　　
　　4.选择
　　
　　从关系中找出满足给定条件的所有元组称为选择。其中的条件是以逻辑表达式给出的，该逻辑表达式的值为真的元组被选取。这是从行的角度进行的运算，即水平方向抽取元组。经过选择运算得到的结果可以形成新的关系，其关系模式不变，但其中元组的数目小于或等于原来的关系中的元组的个数，它是原关系的一个子集。
　　
　　记为：δF（R）≡{t∣t属于R∧F（t）=true}
　　
　　5.投影
　　
　　从关系中挑选若干属性组成的新的关系称为投影。这是从列的角度进行运算。经过投影运算可以得到一个新关系，其关系所包含的属性个数往往比原关系少，或者属性的排列顺序不同。如果新关系中包含重复元组，则要删除重复元组。

　　
　　记为：∏A（R）={t[A]∣t属于R}？A为R中的属性列。
　　
　　例如：∏3，1（R）
　　
　　关系代数的四个组合操作
　　
　　1.交
　　
　　关系R和S的交是由属于R又属于S的元组构成的集合，记为R∩S.R和S要求定义在相同的关系模式上。
　　
　　R∩S≡{t∣t属于R∧t属于S}，R和S的元数相同。
　　
　　2.联接
　　
　　联接有两种：θ联接和F联接（θ是算术比较符，F是公式）。
　　
　　⑴θ联接
　　
　　θ联接是从关系R和S的笛卡尔积中选取属性值满足某一θ操作的元组，记为：
　　
　　R︱×iθj︱S，这里i和j分别是关系R和S中第i个、第j个属性的序号。
　　
　　R︱×iθj︱S≡δiθ（r+j）（R×S）
　　
　　如果θ是等号“=”，该联接操作称为“等值联接”。
　　
　　⑵F联接
　　
　　F联接操作是从关系R和S的笛卡尔积中选取属性值满足某一公式F的元组，记为：
　　
　　R︱×F︱S，这里的F是形为F1∧F2∧…∧Fn的公式，每一个f都是形为iθj的式子，而i和j分别是关系R和S中第i个、第j个属性的序号。
　　
　　3.自然联接
　　
　　两个关系R和S的自然联接用R︱×︱S表示。具体计算过程如下：
　　
　　①计算R×S
　　
　　②设R和S的公共属性是A1，……，Ak，挑选R×S中满足R .A1=S.A1，……，R.Ak=S.Ak的那些元组
　　
　　③去掉S.A1，……，S.Ak的这些列。
　　
　　如果两个关系中没有公共属性，那么其自然联接就转化为笛卡尔积操作。
　　
　　4.除法
　　
　　给定关系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P（X），P是R中满足下列条件的元组在X属性上的投影：元组在X上分量值x的象集YX包含S在Y上投影的集合。
　　
　　关系代数表达式及其应用实例
　　
　　在关系代数运算中，把由五个基本操作经过有限次复合的式子称为关系代数表达式。这种表达式的结果仍然是一个关系。可以使用关系代数表达式表示各种数据查询操作。
　　
　　例题：设教学库中有三个关系：
　　
　　学生关系S（S#，SNAME，AGE，SEX）？
　　
　　学习关系SC（S#，C#，GRADE）
　　
　　课程关系C（C#，CNAME，TEACHER）
　　
　　下面用关系代数表达式表达各个查询语句
　　
　　1.检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。
　　
　　2.检索学习课程号为C2的学生学号与姓名。
　　
　　3.检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。
　　
　　4.检索选修课程号为C2或C4的学生学号。
　　
　　5.检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。
　　
　　6.检索不学C2课的学生姓名有年龄。
　　
　　7.检索学习全部课程的学生姓名。

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